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歸納法的證明問題(請大家看看了喔~~)

1.試證

當n為整數時

(11)^(n 2) (12)^(2n 1)可被113整除。

2.證明1^3 2^3 3^3 … n^3=(1 2 3 … n)^23.連續三整數之立方的和可被9整除都要用歸納法證明喔!!因為我不會啦!!謝謝大家看看了喔~~
第一題要改成133才有辦法算喔!!各題詳解如下:1.當n=1時

原式=11^3 12^3=3059可被133整除假設n=k時

原式成立→11^(k 2) 12^(2k 1) =133pn=k 1時

原式=11^(k 3) 12^(2k 3)=11[11^(k 2)] 144[12^(2k 1)]=144[11^(k 2) 12^(2k 1)]-133[11^(k 2)]=144*133p-133[11^(k 2)]=133[144p-11^(k 2)]亦可被133整除所以當n為整數時

(11)^(n 2) (12)^(2n 1)可被133整除恆成立2.當n=1時

左式=1^3=1

右式=1^2=1

左式=右式假設n=k時

原式成立 →1^3 2^3 3^3 … k^3=(1 2 3 … k)^2n=k 1時

原式=1^3 2^3 3^3 … k^3 (k 1)^3=(1 2 3 … k)^2 (k 1)^3=[(k^2)*(k 1)^2/4] (k 1)^3=(k 1)^2*(k 4k 4)/4=(k 1)^2*(k 2)^2/4=[1 2 3 … k (k 1)]^2所以對於所有的n

1^3 2^3 3^3 … n^3=(1 2 3 … n)^2恆成立3.令此連續三整數為n-1

n

n 1其立方和=(n-1)^3 n^3 (n 1)^3 =3n^3 6n現在題目要求的是3n^3 6n可被9整除n=1時

原式=3 6=9可被9整除假設n=k時

原式成立→3k^3 6k=9pn=k 1時

原式=3(k 1)^3 6(k 1)=3k^3 6k 9k^2 9k 9=9(p k^2 k 1)亦可被9整除所以對於所有的連續三整數之立方的和可被9整除恆成立 參考資料 我自己

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參考:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106102508394如有不適當的文章於本部落格，請留言給我，將移除本文。謝謝！